Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，O是BC上一点，以点O为圆心，OB长为半径作圆，恰好经过点A，并与BC交于点D．
（1）判断直线CA与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=2，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

解：（1）直线CA与⊙O相切．
如图，连接OA．
∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，∠DOA=2∠B=60°．
∴∠CAO=90°，即OA⊥CA．
∵点A在⊙O上，
∴直线CA与⊙O相切；

（2）∵AB=2，AB=AC，
∴AC=2，
∵OA⊥CA，∠C=30°，
∴OA=AC•tan30°=2•=2．
∴S_扇形OAD==π．
∴图中阴影部分的面积等于S_△AOC-S_扇形OAD=2-π．
分析：（1）连接OA，根据题意可得出∠CAO=90°，从而可判断出直线CA与⊙O的位置关系．
（2）先求出扇形OAD的面积，然后根据图中阴影部分的面积等于S_△AOC-S_扇形OAD可得出答案．
点评：本题考查扇形面积的计算机切线的判定，属于综合题目，解答本题时要注意题中条件的运用，还要注意切线的判定定理．