Question

1．如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求出B、C两点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．
（3）若点G为抛物线上的一个动点，在x轴上是否存在这样的点H，使以B、C、G、H为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出满足条件的H点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于抛物线解析式，令x=0求出y的值，确定出OC的值，得出C的坐标，令y=0求出x的值，确定出B的坐标，进而得出抛物线对称轴；
（2）①设直线BC的解析式为y=kx+b，将B与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出直线BC解析式；由二次函数解析式易得抛物线顶点D的坐标，结合一次函数图象上点坐标特征可以推知点E坐标，由点的坐标与图形是性质求得DE、PF的长度；然后由DE∥FP，欲使四边形PEDF为平行四边形，只需DE=PF，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，检验即可．
②由三角形的面积公式列出S与m的函数关系式．
（3）需要分类讨论：①以BH为边，②以BH为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出H点的坐标．

解答 解：（1）如图，∵在y=-x²+2x+3中，当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
当y=0时，-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∵点A在点B的左侧，
∴B（3，0），
抛物线的对称轴是：x=-$\frac{b}{2a}$=1；

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b（k≠0）．
把B（3，0），C（0，3）分别代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的函数关系式为：y=-x+3；
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4得到：D（1，4），
当x=1时，y=-1+3=2，即E（1，2）．
当x=m时，y=-m+3，则P（m，-m+3）．
当x=m时，y=-m²+2m+3，即F（m，-m²+2m+3），
∴DE=4-2=2，PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
∵PF∥DE，
∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形，
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合题意，舍去）．
则当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．
②S=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m，即S=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m（0≤m≤3）；

（3）若以B、C、G、H为顶点的四边形是平行四边形，
①BH为四边形的边，则CG∥BH，
故点G和点C关于直线x=1对称，
∴G（2，3）且CG=2，
此时BH=2，
∴H₁（1，0）或H₂（5，0）；
②BH为对角线，则此时G的纵坐标为-3，
∴-x²+2x+3=-3，可得x=1±$\sqrt{7}$，
故G′（1+$\sqrt{7}$，-3），G″（1-$\sqrt{7}$，-3），
B、H关于点（$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，0）或（$\frac{1-\sqrt{7}}{2}$，0）对称，
所以H₃（$\sqrt{7}$-2，0），H₄（-$\sqrt{7}$-2，0），
综上，点H坐标为H₁（1，0）或H₂（5，0）或H₃（$\sqrt{7}$-2，0）或H₄（-$\sqrt{7}$-2，0）．

点评 此题考查了二次函数解析式的确定、轴对称的性质以及平行四边形的判定和性质；要特别注意的是（3）题中，由于没有明确BH是平行四边形的边还是对角线，所以一定要分类讨论，以免漏解．