Question

如图，已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标是（0，8），AB平行于x轴，B，C，D三点在抛物线y=

9

16

x²上，DC交y轴于N点，一条直线OE与AB交于E点，与DC交于F点，如果E点的横坐标为a，四边形ADFE的面积为

75

2

．
（1）求出B，D两点的坐标；
（2）求a的值；
（3）作△ADN的内切圆⊙P，切点分别为M，K，H，求tan∠PFM的值．

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线的解析式，而B的纵坐标就是A点的纵坐标，可代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，也就知道了AB的长，由于四边形ABCD是平行四边形，因此AB=CD，根据抛物线的对称性，即可求出D点的横坐标．然后代入抛物线的解析式中即可得出D点的坐标；
（2）先根据E点坐标表示出直线上OE的解析式，进而求出F点的坐标．在梯形ADFE中，上下底的长就可求出，高是AN即A、D两点纵坐标的差，然后可根据梯形ADFE的面积求出a的值．
（3）求∠PFM的正切值，就要构建直角三角形，连接PM，PK，直角三角形PMN中，已知了FN的长（根据F点坐标可求得），而MN=PM=r，因此求出圆P的半径是关键．△ADN中，根据A、D两点的坐标即可求出AD、AN、DN的长．由于圆P内切于△ADN，因此可根据三角形内切圆半径公式求出圆P的半径．进而可在直角三角形PMF中，根据tan∠PFM=r：（r+FN）求出∠PFM的正切值．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（0，8），且AB∥x轴
∴B点纵坐标为8，且B点在抛物线y=

9

16

x2上
∴点B的坐标为（

8 2

3

，8）
∴AB=

8 2

3

又∵点D、C在抛物线y=

9

16

x2上，且CD∥x轴
∴D、C两点关于y轴对称
∴DN=CN=

4 2

3

∴D点的坐标为（-

4 2

3

，2）．

（2）设E点的坐标为（a，8），则直线OE的解析式为：y=

8

a

x
∴F点的坐标为（

a

4

，2 ）
由AE=a，DF=

4 2

3

+

a

4

且S_{四边形ADFE}=

75

2

，
解得a=10-

4 2

5

．

（3）连接PH，PM，PK                            
∵⊙P是△AND的内切圆，H，M，K为切点
∴PH⊥AD PM⊥DN PK⊥AN
在Rt△AND中，由DN=

4 2

3

，AN=6，由勾股定理，得
AD=

2 89

3

设⊙P的半径为r，则
S_△AND=

1

2

（

4 2

3

+

2 89

3

+6）r=

1

2

×6×

4 2

3

，r=

12 2

2 2 + 89 +9

在正方形PMNK中，PM=MN=

12 2

2 2 + 89 +9

∴MF=MN+NF=

12 2

2 2 + 89 +9

+

5

2

-

2

5

在Rt△PMF中，tan∠PFM=

PM

MF

=

12 2 2 2 + 89 +9

12 2 2 2 + 89 +9 + 5 2 - 2 5

．

点评：本题是二次函数的综合题，考查了三角形的内切圆，解直角三角形，平行四边形的性质，二次函数的性质等知识点，综合性较强，考查学生数形结合的数学思想方法．