Question

（2013•南岗区一模）如图，平行四边形ABCD中，连接AC，点0为对称中心，点P在AC上，若OP=

5

2

，tan∠DCA=

1

2

，∠ABC=120°，BC=2

3

，则AP=

2

5

或

5

．

Answer 1

分析：首先过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，由平行四边形ABCD中，∠ABC=120°，BC=2

3

，可求得AE的长，又由tan∠DCA=

1

2

，可求得AC的长，然后分别从点P在OA上与点P在OC上去分析求解即可求得答案．

解答：解：过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，
∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=120°，BC=2

3

，
∴∠ADC=∠ABC=120°，AD=BC=2

3

，
∴∠ADE=60°，
∴∠EAD=30°，
∴ED=

1

2

AD=

3

，
∴AE=

AD2-ED2

=3，
∵tan∠DCA=

1

2

，
∴EC=2AE=6，
∴AC=

AE2+EC2

=3

5

，
∴OA=

1

2

AC=

3

2

5

，
若点P在OA上，则AP=OA-OP=

5

；
若点P在OC上，AP=OA+OP=2

5

．
∴AP=

5

或2

5

．
故答案为：

5

或2

5

．

点评：此题考查了平行四边形的性质、三角函数的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．