Question

已知抛物线（k为常数，且k＞0）．
（1）证明：此抛物线与x轴总有两个交点；
（2）设抛物线与x轴的两个交点分别是M、N．
①M、N两点之间的距离为MN=______．（用含k的式子表示）
②若M、N两点到原点的距离分别为OM、ON，且，求k的值．

Answer 1

证明：（1）∵△=k²-4×1×（-k²）=4k²，
∵k＞0，
∴△＞0，
∴抛物线与x轴总有两个交点；

（2）①=0，
解得：x₁=-，x₂=，
∴MN=-（-）=2k；

②∵＞0，
∴ON＜OM，
∴ON=，OM=，
∴-=，
解得k=2．
分析：（1）由判别式△＞0即可证明；
（2）①由=0，解得：x₁=-，x₂=，即可得出答案；
②由＞0，可得ON＜OM，所以ON=，OM=，即可得出答案．
点评：本题考查了二次函数综合题，难度一般，关键是掌握用判别式△＞0证明抛物线与x轴总有两个交点．