Question

【题目】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．

（1）求抛物线和直线AC的解析式；

（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；

（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．

【解析】

（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．

（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．

（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t的值．

（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），

, 解得：，

∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，

设直线AC解析式为y=kx+3，

∴-k+3=0，得：k=3，

∴直线AC解析式为：y=3x+3.

（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，

∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴G（1，4），GH=4，

∴S△CGO=OCxG=×3×1=，

∴S△CGE=S△CGO=×=2，

①若点E在x轴正半轴上，

设直线CG：y=k1x+3，

∴k1+3=4 得：k1=1，

∴直线CG解析式：y=x+3，

∴F（-3，0），

∵E（m，0），

∴EF=m-（-3）=m+3，

∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EFGH-EFOC=EF（GH-OC）=（m+3）（4-3）=，

∴=2，解得：m=1，

∴E的坐标为（1，0）.

②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，

即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，

∴EF=-3-m=1-（-3）=4，

解得：m=-7 即E（-7，0），

综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.

（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，

设M（e，3e+3），则yN=yM=3e+3，

①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，

∵MN∥x轴，

∴MQ=NR=3e+3，

∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），

∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，

∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，

∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），

∵N在抛物线上，

∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，

解得：e1=-1（舍去），e2=，

∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，

∴t-1-e=3e+3，

∴t=4e+4=，

②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，

∴MN=PM=3e+3，

∴xN=xM+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），

∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，

解得：e1=-1（舍去），e2=，

∴t=AP=e-（-1）=+1＝，

③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，

∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），

解得：e=，

∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，

综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．