Question

如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A（3，0），B（0，

3

）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若S_△ACD=

3

6

，求点C的坐标；
（3）在第一象限内是否存在点P，使得以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出答案；
（2）因为点C为线段AB上的一动点，CD⊥x轴于点D，所以可设点C的坐标为（x，-

3

3

x+

3

），那么OD=x，AD=3-x，CD=-

3

3

x+

3

，利用三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程即可，但要注意x的取值；
（3）因为∠AOB=90°，所以以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似需分三种情况进行讨论：①当∠OBP=90°时，又分△BPO∽△OAB；△BOP∽△OAB；②当∠OPB=90°时，过点O作OP⊥BC于点P，过点P作PM⊥OA于点M．又分△PBO∽△OBA；△POB∽△OBA；③当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（3，0），B（0，

3

），
∴

3k+b=0 b= 3

，解得

k=- 3 3 b= 3

，
∴直线AB的解析式为y=-

3

3

x+

3

；

（2）设点C的坐标为（x，-

3

3

x+

3

），则0≤x≤3，OD=x，AD=OA-OD=3-x，CD=-

3

3

x+

3

，
∵S_△ACD=

3

6

，
∴

1

2

（3-x）（-

3

3

x+

3

）=

3

6

，
整理，得x²-6x+8=0，
解得x₁=2，x₂=4（不合题意舍去），
∴C的坐标为（2，

3

3

）；

（3）以P，O，B为顶点的三角形与△OBA相似时，分三种情况：
①当∠OBP=90°时，如图．
若△BPO∽△OAB，则∠BPO=∠OAB=30°，BP=

3

OB=3，
∴P₁（3，

3

）；
若△BOP∽△OAB，则∠BOP=∠OAB=30°，BP=

3

3

OB=1，
∴P₂（1，

3

）；
②当∠OPB=90°时，如图．
过点O作OP⊥BA于点P，过点P作PM⊥OA于点M．
若△PBO∽△OBA，则∠BOP=∠BAO=30°，
在Rt△PBO中，BP=

1

2

OB=

3

2

，OP=

3

BP=

3

2

．
∵在Rt△PMO中，∠OPM=30°，
∴OM=

1

2

OP=

3

4

，PM=

3

OM=

3 3

4

，
∴P₃（

3

4

，

3 3

4

）；
若△POB∽△OBA，则∠OBP=∠BAO=30°，∠POM=30°．
∴PM=

3

3

OM=

3

4

，
∴P₄（

3

4

，

3

4

）；
③当∠POB=90°时，点P在x轴上，不符合要求．
综合所述，符合条件的点有四个，分别是：P₁（3，

3

），P₂（1，

3

），P₃（

3

4

，

3 3

4

），P₄（

3

4

，

3

4

）．

点评：本题是一次函数综合题，考查了用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，解直角三角形，相似三角形的有关知识，难度适中．运用分类讨论、数形结合、方程思想是解题的关键．