题目内容

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD= $数学公式$ ，∠B=45°，直角三角尺含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边交CD于点F．若△ABE为等腰三角形，求CF的长．

解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，

∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4 $\text{[math]}$ ，
∴BM= $\text{[math]}$ （BC-AD）= $\text{[math]}$ （4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，∠C=∠B=45°，
∵∠B=45°，
∴AB= $\text{[math]}$ BM= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =3，
①如图1，AE=BE时，∵∠B=45°，
∴∠BAE=∠B=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，

∴BE= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ ，
∴CE=BC-BE=4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-90°-45°=45°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴CF= $\text{[math]}$ CE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
②如图2，AB=BE时，∵∠B=45°，
∴∠AEB= $\text{[math]}$ （180°-∠B）= $\text{[math]}$ （180°-45°）=67.5°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，

∴∠CFE=180°-∠C-∠CEF=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CEF=∠CFE，
∴CF=CE，
∵BC=4 $\text{[math]}$ ，AB=3，
∴CF=CE=BC-BE=4 $\text{[math]}$ -3；
③如图3，AB=AE时，∠AEB=∠B=45°，
∴∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF=180°-45°-45°=90°，
∴△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，
∴BE= $\text{[math]}$ AB=3 $\text{[math]}$ ，
CE=BC-BE=4 $\text{[math]}$ -3 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CF= $\text{[math]}$ CE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ =2；
综上所述，CF的长为 $\text{[math]}$ 或4 $\text{[math]}$ -3或2．
分析：过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据等腰三角形的性质求出BM的长度，再求出AB，然后分①AE=BE时，△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，求出BE的长，再求出CE的长，然后根据局等腰直角三角形的性质求解即可；②AB=BE时，先求出CE的长度，再求出∠AEB的度数，再根据平角等于180°求出∠CEF，然后求出∠CFE，根据度数得到∠CEF=∠CFE，根据等角对等边的性质可得CF=CE；③AB=AE时，判断出△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解即可．
点评：本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于根据腰长的不同，分情况讨论．