Question

“勾股弦”后人概括为“勾3、股4、弦5．”
（1）观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；…，发现这几组勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，计算（9-1），（9+1）；（25-1），（25+1）；并根据你发现的规律，分别写出能表示7、24、25这一组数的股与弦的算式．
（2）根据（1）的规律，若用n（n为奇数，且n≥3）来表示所有这些勾股数的勾，请直接用n的代数式来表示它们的股和弦．
（3）继续观察：4、3、5；6、8、10；8、15、17；…，发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．利用类似上述探索的方法，若用m（m为偶数，且m≥4）来表示所有这些勾股数的勾，请分别用m的代数式来表示它们的股和弦．

Answer 1

解：（1）∵（9-1）=4，（9+1）=5；（25-1）=12，（25+1）=13；
∴表示7、24、25这一组数的股与弦的算式股：（49-1）=（7²-1），弦：（49+1）=（7²+1）；
（2）用n（n为奇数，且n≥3）的代数式来表示，股：（n²-1），弦：（n²+1）；
（3）用m（m为偶数，且m≥4）的代数式来表示，股：m²-1，弦：m²+1．
分析：（1）通过计算，发现规律为：股是勾的平方减1的一半，弦是勾的平方加1的一半，从而写出结果；
（2）由（1）可知，用n来表示所有这些勾股数的勾，则其股是n的平方减1的一半，弦是n的平方加1的一半；
（3）根据以上探索规律，偶数开头的各组数字，其股是勾的平方的四分之一减1，其弦是勾的平方的四分之一加1．
点评：本题是研究勾股数，考查学生观察、分析、类比和猜想解决问题的能力．属于探索性题目，有利于培养同学们的发散思维能力．