Question

（2012•虹口区一模）已知△ABC中，AB=AC=m，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，过B₁做B₁B₂∥BC交AB于B₂，作B₂B₃平分∠AB₂B₁交AC于B₃，过B₃作B₃B₄∥BC交AB于B₄，则线段B₃B₄的长度为

5

m-2m

（用含有m的代数式表示）

Answer 1

分析：由△ABC中，AB=AC=m，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，过B₁做B₁B₂∥BC交AB于B₂，易证得△BCB₁和△B₂B₁B是等腰三角形，然后设AB₂=x，可得AB₁=AB₂=BC=AB-BB₂=x，BB₂=B₁B₂=m-x，又由相似三角形的对应边成比例，即可求得x值，同理，可求得线段B₃B₄的长度．

解答：解：∵AB=AC=m，∠ABC=72°，BB₁平分∠ABC交AC于B₁，
∴∠B₂BB₁=∠B₁BC=

1

2

∠ABC=36°，∠C=∠ABC=72°，
∴∠BB₁C=72°=∠C，
∵B₁B₂∥BC，
∴∠B₂B₁B=∠B₁BC=36°，
∴BB₂=B₁B₂，BB₁=BC，
∵∠A=∠ABB₁=36°，
∴AB₁=BB₁，
∴设AB₂=x，
则AB₁=AB₂=BC=AB-BB₂=x，BB₂=B₁B₂=m-x，
∵

AB2

AB

=

B2B1

BC

，
∴

x

m

=

m-x

x

，
解得：x=

5 -1

2

m，
∴B₁B₂=BB₂=

3- 5

2

m，
∴AB₂=

5 -1

2

m，
同理：B₂B₄=B₃B₄，B₁B₂=AB₄=AB₃，
设B₃B₄=y，
∵

B3B4

B1B2

=

AB4

AB2

，
则可得：

y

3- 5 2 m

=

3- 5 2 m

5 -1 2 m

，
解得：y=

5

m-2m．
故答案为：

5

m-2m．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．