Question

【题目】已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与轴交于A（，0）、B（，0），﹤0﹤，与轴交于点C，为坐标原点，．

（1）求证：；

（2）求、的值；

（3）当﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) 当时，，；当时，， ；(3)4.

【解析】

试题分析：(1)因为图象顶点的横坐标是2，所以可证，从而证明结论成立；

(2)根据抛物线顶点的横坐标是2，可得，根据一元二次方程根与系数关系可得：，，又因为tan∠CAO=，tan∠CBO=，，可以求出，所以可得：，然后分情况求出m、n的值；

(3) 当时，可得二次函数的表达式为：，根据二次函数图象与直线仅有一个交点可得：一元二次方程有两个相等的实数根，从而得到：，从而求出p的值，可以得到：此时二次函数的表达式为：，从而得到函数的最大值是4.

试题解析：（1）二次函数图象顶点的横坐标是,

将2代入顶点横坐标得：

∴，

（2） ∵已知二次函数图象与轴交于A（，0）、B（，0），

由（1）知，

∴，，

∵﹤0﹤，

∴在Rt△ACO中，tan∠CAO=，

在Rt△CBO中，tan∠CBO=，

∵，

∴，

∵ ﹤0﹤，

∴，

∴，

即

∴，

∴，

当时，，

解得：，

当时，，

解得：，

（3）当时，二次函数的表达式为：，

∵二次函数图象与直线仅有一个交点

∴方程组仅有一个解

∴一元二次方程

即有两个相等根，

∴，

解得：，

此时二次函数的表达式为：，

∵，

∴有最大值.