Question

如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，4

3

）．
（1）求点C的坐标和平行四边形OABC的对称中心的点的坐标；
（2）动点P从点O出发，沿OA方向以每秒1个点位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半？
（3）当△PQC的面积是平行四边形OABC面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点C的坐标；平行四边形OABC的对称中心即是对角线的中点；
（2）S_△PQC=S_?ABCD-S_△OPC-S_△APQ-S_△BCQ=

1

2

S_?ABCD，根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的t值即可；
（3）根据（2）中得出的t值，找出此时点P和Q的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点M的坐标即可．

解答：解：（1）∵四边形OABC是平行四边形，
∴AO=BC=14，
∵点A的坐标为（14，0），点B的坐标为（18，4

3

），
∴点C的坐标为（4，4

3

），平行四边形OABC的对称中心的点的坐标为（9，2

3

）．

（2）根据题意得：S_△PQC=S_?ABCD-S_△OPC-S_△APQ-S_△BCQ=

1

2

S_?ABCD，
∴

1

2

×14×4

3

=

1

2

×t×4

3

+

1

2

（14-t）×

3

t+

1

2

×14×（4

3

-

3

t）
化简得：

3

2

t²-2

3

t=0，
解得：t=4或0，
即当点P运动4秒或0秒时，△PQC的面积是平行四边形OABC的一半．

（3）由（2）知，此时点Q与点B重合，画出图形如下所示，

根据平行四边形的性质，可知点M₁的坐标为M₁（18，0），M₂（-10，0），M₃（18，8

3

）．

点评：本题考查平行四边形的性质及一元二次方程的应用，解题关键是第二问，根据S_△PQC=S_?ABCD-S_△OPC-S_△APQ-S_△BCQ=

1

2

S_?ABCD准确列出方程式，求出满足题意的t值，有一定的难度，同时要注意细心运算．