题目内容

（2013•历下区一模）如图，设直线l2：y=-2x+8与x轴相交于点N，与直线l1相交于点E（1，a），双曲线y=
k
x
（x＞0）经过点E，且与直线l1相交于另一点F（9，
2
3
）．
（1）求双曲线解析式及直线l1的解析式；
（2）点P在直线l1上，过点F向y轴作垂线，垂足为点B，交直线l2于点H，过点P向x轴作垂线，垂足为点D，与FB交于点C．
①请直接写出当线段PH与线段PN的差最大时点P的坐标；
②当以P、B、C三点为顶点的三角形与△AMO相似时，求点P的坐标．
分析：（1）把点F的坐标代入反比例函数解析式求得k的值；然后把点E的坐标代入双曲线解析式可以求得a的值；然后根据点E、F的坐标来求直线l1的解析式；
（2）①当点P、H、N共线时，线段PH与线段PN的差最大；
②需要分类讨论：△PBC∽△AMO和△PBC∽△MAO两种情况，由相似三角形的对应边成比例可以求得点P的坐标．
解答：解：（1）∵双曲线y=
k
x
（x＞0）经过点E（1，a）和点F（9，
2
3
），
∴
a=k
2
3
=
k
9
，
解得
a=6
k=6
，
∴双曲线的解析为：y=
6
x
，点E（1，6）．
设直线l1的解析式为y=kx+b（k≠0）．
把点E、F的坐标分别代入，得
k+b=6
9k+b=
2
3
，
解得
k=-
2
3
b=
20
3
，
则直线l1的解析式为y=-
2
3
x+
20
3
；
综上所述，双曲线解析式及直线l1的解析式分别是：y=
6
x
和y=-
2
3
x+
20
3
；

（2）①当点P、H、N共线时，线段PH与线段PN的差最大，此时，点P与点E重合，即P（1，6）；
②设P（x，y）（x＞0）．
∵直线l1的解析式为y=-
2
3
x+
20
3
，
∴AO=
20
3
，OM=10，
∴如图，在直角△AOM中，由勾股定理得到：AM=
OA2+OM2
=
(
20
3
)2+102
=
10
13
3
．
易求PC=-
2
3
x+
18
3
．
i）当△PBC∽△AMO时，
BC
MO
=
PC
AO
，即
x
10
=
-
2
3
x+
18
3
20
3
，解得x=
9
2
，则y=-
2
3
×
9
2
+
20
3
=
11
3
，故P（
9
2
，
11
3
）；
ii）当△PBC∽△MAO时，
BC
AO
=
PC
MO
，即
x
20
3
=
-
2
3
x+
18
3
10
，解得x=
36
13
，则y=-
2
3
×
36
13
+
20
3
=
188
39
，故P（
36
13
，
188
39
）．
综上所述，符合条件的点P的坐标是P（
9
2
，
11
3
）或（
36
13
，
188
39
）．
点评：本题考查了待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，相似三角形的性质．注意，解（2）题时，没有明确相似三角形的对应角（边），一定要分类讨论，考虑到所有的情况，不要漏解．
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3
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