Question

（2013•历下区一模）已知：如图，抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q、E同时从B点出发，点E以每秒1个单位的速度沿线段BC向点C运动，点Q以每秒2个单位的速度沿线段BA向点A运动，当其中一点到达终点时另一点也停止运动，连接CQ、EQ，求△CQE的最大面积；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0），问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请简明说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（4，0），用待定系数法求出a，c的值，即可求出该抛物线的解析式；
（2）先设点Q的坐标是（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，根据（1）得出的抛物线求出x的值，得出点B的坐标，求出AB和BQ的值，再根据QE∥AC，得出△BQE∽△BAC，求出EG的值，最后根据S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ，求出△CQE的最大面积；
（3）存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形；分三种情况讨论，在△ODF中，①若DO=DF，②若FO=FD，③若OD=OF，根据已知条件求出点F的坐标，再有抛物线的解析式得出x的值，从而求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（4，0），
∴

16a-8a+c=0 c=4

，
解得：

a=- 1 2 c=4

，
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+x+4；

（2）设点Q的坐标是（m，0），过点E作EG⊥x轴于点G，
∵-

1

2

x²+x+4=0，
解得：x₁=-2，x₂=4；
∴点B的坐标是（-2，0），
∴AB=6，BQ=m+2，
∵QE∥AC，
∴△BQE∽△BAC，
∴

EG

CO

=

BQ

BA

，
即

EG

4

=

m+2

6

，
∴EG=

2m+4

3

，
∴S_△CQE=S_△CBQ-S_△EBQ=

1

2

BQ•CO-

1

2

BQ•EG=

1

2

（m+2）（4-

2m+4

3

）=-

1

3

m²+

2

3

m+

8

3

=-

1

3

（m-1）²+3，
又∵-2≤m≤4，
∴当m=1时，S_△CQE有最大值，△CQE的最大面积是3．

（3）存在；
在△ODF中，
①若DO=DF，
∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
∵在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，
∴点F的坐标是（2，2），
由-

1

2

x²+x+4=2得：
x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
∴点P的坐标是（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）；
②若FO=FD，过点F作FM⊥x轴于点M，
由等腰三角形的性质得：OM=

1

2

OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰直角△AMF中，MF=AM=3，
∴点F的坐标是（1，3），
由-

1

2

x²+x+4=3，得：x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
∴点P的坐标是（1+

3

，3）或（1-

3

，3）；
③若OD=OF，
∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4

2

，
∴点O到AC的距离为2

2

，
而OF=OD=2＜2

2

，
∴不存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形；
综上所述：存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形，则点P的坐标是：（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）或（1+

3

，3）或（1-

3

，3）．

点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是用待定系数法求抛物线的解析式、三角形的相似、等腰三角形的性质、直角三角的性质，难度较大，有一定的开放性，在解题时要注意综合运用数形结合思想，灵活应用二次函数的图象和性质是本题的关键．