Question

如图所示，△ABC内接于圆O，过点A的直线交圆O于点P，交BC的延长线于点D，AB²=AP·AD。
（1）求证：AB=AC；
（2）如果∠ABC=60°，圆O的半径为1，且P为的中点，求AD的长。

Answer 1

解：（1）连结BP，
∵AB²=AP·AD
∴，
∵∠BAD=∠PAB，
∴△ABD∽△APB，
∴∠ABC=∠APB，
又∵∠APB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）由（1）知AB=AC，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°
∵P为的中点，
∴∠ABP=∠PAC=∠ABC=30°
∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°
∴BP为直径，
∴BP=2，
∴AP=BP=1，
∴AB²=BP²-AP²=3
∵AB²=AP·AD
∴AD==3。