Question

高为6cm的等边三角形的面积是

12

3

cm²

，它的外接圆的外切正三角形的面积是

48

3

cm²

．

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，再由等边三角形的内角是60°利用三角函数可求得其高，根据面积公式求出等边三角形的面积；
先根据题意画出图形，连结OM，再由正多边形的内心、外心、重心都重合为一点，由重心的性质得出OA=

2

3

AD=4cm，然后在△OMA中求出AM=4

3

cm，则S_△MNP=6S_△AOM．

解答：解：如图，AD是等边△ABC的边BC上的高，AD=6cm，
∴AB=

AD

sin60°

=

6

3 2

=4

3

（cm），
∴△ABC的面积=

1

2

×4

3

×6=12

3

（cm²）；
如图，等边△ABC的外接圆⊙O的外切正三角形是△MNP，连结OM．
∵AD=6cm，
∴OA=

2

3

AD=4cm．
∵∠OMA=30°，∠OAM=90°，
∴AM=

3

OA=4

3

cm．
∴S_△MNP=6S_△AOM=6×

1

2

×4

3

×4=48

3

cm²．
故答案为12

3

cm²；48

3

cm²．

点评：此题考查了圆的内接三角形和外切三角形，根据正三角形的性质和三角函数，求出半径和边心距的长是解题的关键．