Question

已知：关于x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+k-2=0的两个实数根是x₁和x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若x₁²=11-x₂²，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由x的一元二次方程kx²+（2k+1）x+k-2=0的两个实数根是x₁和x₂，可得k≠0且△≥0即可求出k的取值范围，
（2）根据根与系数的关系及x₁²=11-x₂²，即可求出k的值．

解答：解：（1）∵方程有两个实数根，
∴k≠0且△=（2k+1）²-4k（k-2）≥0，
解得：k≥-

1

12

且k≠0，
∴k的取值范围：k≥-

1

12

且k≠0．
（2）∵一元二次方程kx²+（2k+1）x+k-2=0的两个实数根是x₁和x₂，
∴x₁+x₂=-

2k+1

k

，x₁x₂=

k-2

k

，
∵x₁²=11-x₂²，∴x₁²+x₂²=11，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=11，
∴(-

2k+1

k

)2-2（

k-2

k

）=11，
解得：k=-

1

9

或k=1，
∵k≥-

1

12

且k≠0，∴k=1．

点评：本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是掌握x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反过来也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．