题目内容

（1）如图①，将边长为1的等边三角形纸片（即△OAB）沿直线l₁向右滚动（不滑动），三角形纸片经过两次滚动，点O运动到了点O₂处；则顶点O经过的路线长；
（2）类比研究：如图②，将边长为1的正方形纸片OABC沿直线l₂向右滚动（不滑动），OA边与直线l₂重合，将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处；又将正方形纸片AO₁C₁B₁绕B₁点按顺时针方向旋转90°，…，按上述方法经过若干次旋转后，请解决如下问题：
问题①若正方形纸片OABC按上述方法经过3次旋转，求顶点O经过的路线长，并求顶点O运动的路径与直线l₂围成图形的面积；
②若正方形OABC按上述方法经过5次旋转，求顶点O经过的路线长；
③正方形纸片OABC按上述方法经过2010次旋转，顶点O经过的路程是__．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠OAO₁=120°，
∴顶点O滚动1次经过的路线长为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，
∴两次滚动后点O经过的路线长为：2× $\text{[math]}$ π= $\text{[math]}$ π；

（2）如图2，为了便于标注字母，且位置更清晰，每次旋转后不防向右移动一点，
第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，
路线长为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，
面积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，
第2次旋转路线是以正方形的对角线长 $\text{[math]}$ 为半径，以90°圆心角的扇形，
路线长为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，
面积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，
第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，
路线长为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，
面积为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ π，
①经过3次旋转，顶点O运动的路径为 $\text{[math]}$ π+ $\text{[math]}$ π+ $\text{[math]}$ π= $\text{[math]}$ π，
与直线l₂围成图形的面积为 $\text{[math]}$ π+ $\text{[math]}$ π+ $\text{[math]}$ π=π；
②第4次旋转点O没有移动，旋转后于最初正方形的放置相同，
因此5次旋转，顶点O经过的路线长为 $\text{[math]}$ π+ $\text{[math]}$ π+ $\text{[math]}$ π+0+ $\text{[math]}$ π= $\text{[math]}$ π；
③∵2010÷5=402，
∴经过2010次旋转，顶点O经过的路程是5次旋转路程的402倍，
$\text{[math]}$ π×402=603π+201 $\text{[math]}$ π．
故答案为：（1） $\text{[math]}$ π；（2） $\text{[math]}$ π，603π+201 $\text{[math]}$ π．
分析：（1）根据等边三角形的每一个外角都是120°可知，点O一次旋转所经过的路线是以边长为半径，120°为圆心角的扇形，然后根据弧长公式进行计算即可求解；
（2）为了便于标注字母，且更清晰的观察，每次旋转后向右稍微平移一点，作出前几次旋转后的图形，点O的第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°圆心角的扇形，第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形；
①根据弧长公式与扇形的面积计算公式分别进行计算，然后相加即可；
②根据弧长公式列式进行计算即可得解；
③求出2010次旋转中有几个5次，然后根据②的结论进行计算即可求解．
点评：本题考查了旋转变换的性质，等边三角形与正方形的性质，读懂题意，并根据题意作出图形更形象直观，且有利于旋转变换规律的发现．