Question

【题目】已知：如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点，连接交于点．

求证：四边形为矩形；

当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并给出证明．

在的条件下，若，求正方形周长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）且时，四边形是一个正方形；证明见解析；（3）8；

【解析】

（ 1 ）根据等腰三角形的性质，可得 ∠ CAD=∠ BAC ，根据等式的性质，可得∠CAD+ ∠CAE=（ ∠BAC+ ∠CAM ）=90°，根据垂线的定义，可得∠ADC=∠CEA，根据矩形的判定，可得答案；

（ 2 ）根据等腰直角三角形的性质，可得AD与CD的关系，根据正方形的判定，可得答案；

（ 3 ）根据勾股定理，可得AD的长，根据正方形周长公式，可得答案．

∵，，垂足为点，

∴．

∵是外角的平分线，

∴．

∵与是邻补角，

∴，

∴．

∵，，

∴，

∴四边形为矩形；

（2）且时，四边形是一个正方形，

∵且，，

∴，，

∴，

∴．

∵四边形为矩形，

∴四边形为正方形；

由勾股定理，得

，，

即，

，

正方形周长．