题目内容
如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12 cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1 cm/s，点N的速度为2 cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
(1)点M、N运动几秒后，M、N两点重合？
(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
(3)当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．
答案：
解析：
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解：(1)设点M、N运动x秒后，M、N两点重合， x×1＋12＝2x， 解得：x＝12． (2)设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①， AM＝t×1＝t，AN＝AB－BN＝12－2t， ∵三角形△AMN是等边三角形， ∴t＝12－2t． 解得t＝4． ∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
(3)当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形， 由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN＝AM． ∴∠AMN＝∠ANM． ∴∠AMC＝∠ANB ∵AB＝BC＝AC， ∴△ACB是等边三角形． ∴∠C＝∠B 在△ACM和△ABN中， ∴△ACM≌△ABN． ∴CM＝BN． 设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形， ∴CM＝y－12，NB＝36－2y，CM＝NB y－12＝36－2y， 解得：y＝16．故假设成立． ∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AMN，此时M、N运动的时间为16秒．
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