Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．

(1)求证：DE为⊙O的切线．

(2)求证：AB∶AC＝BF∶DF．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：连结DO、DA 　　∵AB为⊙O直径 　　∴∠CDA＝∠BDA＝90° 　　∵CE＝EA 　　∴DE＝EA 　　∴∠1＝∠4 　　∵OD＝OA 　　∴∠2＝∠3 　　∵∠4＋∠3＝90° 　　∴∠1＋∠2＝90° 　　即：∠EDO＝90° 　　∴DE为⊙O的切线　3分 　　(2)∵∠3＋∠DBA＝90° 　　∠3＋∠4＝90° 　　∴∠4＝∠DBA 　　∵∠CDA＝∠BDA＝90° 　　∴△ABD∽△CAD 　　∴＝　5分 　　∵∠FDB＋∠BDO＝90° 　　∠DBO＋∠3＝90° 　　又∵OD＝OB 　　∴∠BDO＝∠DBO 　　∴∠3＝∠FDB 　　∵∠F＝∠F 　　∴△FAD∽△FDB 　　∴＝　8分 　　即：AB：AC＝BF：DF　9分