Question

在8×8的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知A（2，4），B（4，2），C是第一象限内的一个格点，由点C与线段AB组成一个以AB为底，且腰长为无理数的等腰三角形．
（1）填空：C点的坐标是______，△ABC的面积是______；
（2）请探究：在x轴上是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积等于△ABC面积的2倍？若存在，请直接写出点P的坐标（不必写出解答过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）（1，1），4；

（2）存在，理由为：
∵S_△ABC=4，
∴S_{四边形ABOP}=8，
同（1）中的方法得到三点A，B，O构成的面积为6．P不可能在O的右边，
当P在O左边时，△APO的面积应为2，高为4，那么底边长为1，所以P（-1，0）；
则点P的坐标为（-1，0）．
故答案为：（1）（1，1）；4
分析：（1）此点应在AB的垂直平分线上，在第一象限，腰长又是无理数，只有是点（1，1），从A，B向x轴引垂线，把所求的三角形的面积分为一个直角三角形和一个直角梯形的面积减去一个直角三角形的面积．
（2）根据平行四边形的性质，结合（1）中的方法解答．
点评：此题考查了勾股定理，矩形的性质，坐标与图形性质，三角形的面积公式，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．