Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线m从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB于点D．过点C作CE∥AB交直线m于点E，设直线m的旋转角为α．
（1）求证：CE=AD；
（2）当α等于多少度时，四边形EDBC为菱形，并说明理由；
（3）当α=______度时，四边形ADCE是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）由点O是AC的中点得OA=OC，由CE∥AB得∠A=∠ECO=30°，根据“ASA”可判断△AOD≌△COE，则CE=AD；
（2）由于∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，则∠A=30°，AB=4，由（1）得到EC∥AD且EC=AD，所以EC=BD时，即BD=2，四边形EDBC为平行四边形，加上BC=BD，于是可得到四边形EDBC为菱形，则∠AOD=∠ACB=90°；
（3）由于四边形ADCE是平行四边形，则当AC=DE时，四边形ADCE是矩形，即OA=OD，而∠A=30°，则∠AOD=120°．
解答：（1）证明：∵点O是AC的中点，
∴OA=OC，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ECO=30°，
∵在△AOD和△COE中
，
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴CE=AD；

（2）解：α等于90度时，四边形EDBC为菱形．理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，
∴AB=4，
∵EC∥AD且EC=AD，
当EC=BD时，即BD=2，四边形EDBC为平行四边形，
∵BC=BD，
∴四边形EDBC为菱形，
此时∠AOD=∠ACB=90°，
∴α=90°时，四边形EDBC为菱形；

（3）解：∵四边形ADCE是平行四边形，
∴当AC=DE时，四边形ADCE是矩形，
即OA=OD，
而∠A=30°，
∴∠AOD=120°，
∴旋转角为α=120°时，四边形ADCE是矩形．
故答案为120．
点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了三角形全等的判定与性质、含30度的直角三角形三边的关系以及菱形和矩形的判定．