Question

设x₁、x₂是关于x的方程x²-（k+2）x+2k+1=0的两个实数根，且+=11．
（1）求k的值；
（2）利用根与系数关系求作一个一元二次方程，使它的一个根是原方程两个根的和，另一根是原方程两根差的平方．

Answer 1

解：（1）根据题意得△=（k+2）²-4（2k+1）≥0，
解得k≥4或k≤0；

（2）根据题意得x₁+x₂=k+2，x₁x₂=2k+1，
∵+=11，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=11，
∴（k+2）²-2（2k+1）=11，
解得k₁=3，k₂=-3，
∵k≥4或k≤0，
∴k=-3，
∴x₁+x₂=-1，x₁x₂=-5，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1+20=21，
∴所求的新方程为y²-（-1+21）y-1×21=0，即y²-20y-21=0．
分析：（1）根据根的判别式得到△=（k+2）²-4（2k+1）≥0，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=k+2，x₁x₂=2k+1，变形+=11得到（x₁+x₂）²-2x₁x₂=11，所以（k+2）²-2（2k+1）=11，解得k₁=3，k₂=-3，则满足条件的k的值为-3，于是x₁+x₂=-1，x₁x₂=-5，再计算（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1+20=21，然后以-1和21为根写一个元二次方程即可．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则x₁+x₂=，x₁x₂=．也考查了一元二次方程根的判别式．