Question

如图所示，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O 旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想AM与GN有怎样的数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析：先根据正方形的性质得到OB=OD，AD=AB，∠BDA=∠ABD=45°，再根据旋转的性质得OF=OD，∠F=∠BDA，GF=AD，则OB=OF，∠F=∠ABD，然后根据“AAS”
可判断△OBM≌△OFN，所以BM=FN，再利用AB=AD=GF，即可得到AM=GN．

解答：解：AM=GN．理由如下：
∵点O为正方形ABCD的中心，
∴OB=OD，AD=AB，∠BDA=∠ABD=45°，
∵△ABD绕对称中心O 旋转至△GEF的位置，
∴OF=OD，∠F=∠BDA，GF=AD，
∴OB=OF，∠F=∠ABD，
在△OBM和△OFN中

∠OBM=∠F ∠BOM=∠FON OB=OF

，
∴△OBM≌△OFN（AAS），
∴BM=FN，
∵AB=AD=GF，
∴AB-BM=GF-FN，
即AM=GN．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．