Question

如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax²+c与x轴正半轴交于点F(16，0)、与y轴正半轴交于点E(0，16)，边长为16的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；

1.求拋物线的函数表达式

2.如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线始终与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q(运动时，点P不与A、B两点重合，点Q不与C、D两点重合)。设点A的坐标为(m，n) (m>0)。

      j 当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标；

      k 在j的基础上，当正方形ABCD左右平移时，请直接写出m的取值范围；

      l 当n=7时，是否存在m的值使点P为AB边中点。若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

1.

2.j P（8，12）k8﹣16＜m＜8l当n=7时，不存在这样的m值使P为AB的边的中点

【解析】（1）把E（0，16）、F（16，0）坐标代入到抛物线方程中，

    

   解得

  拋物线的函数表达式为：

（2）①过点P做PG⊥x轴于点G，

∵PO=PF，

∴OG=FG，

∵F（16，0），

∴OF=16，

∴OG=，OF=×16=8，

即P点的横坐标为8，

∵P点在抛物线上，

∵m＞0，

∴y=，

即P点的纵坐标为12，

∴P（8，12），

∵P点的纵坐标为12，正方ABCD边长是16，

∴Q点的纵坐标为﹣4，

∵Q点在抛物线上，

∴，

∴，

∵m＞0，∴∴，

∴．

 

②8﹣16＜m＜8．

③不存在．

理由：当n=7时，则P点的纵坐标为7，

∵P点在抛物线上，

∴，

∴x₁=12，x₂=﹣12，

∵m＞0

∴x₂=﹣12（舍去）

∴x=12

∴P点坐标为（12，7）

∵P为AB中点，∴，

∴点A的坐标是（4，7），

∴m=4，

又∵正方形ABCD边长是16，

∴点B的坐标是（20，7），点C的坐标是（20，﹣9），

∴点Q的纵坐标为﹣9，

∵Q点在抛物线上，

∴，

∴x₁=20，x₂=﹣20，

∵m＞0，

∴x₂=﹣20（舍去）

∴x=20，

∴Q点坐标（20，﹣9），

∴点Q与点C重合，这与已知点Q不与点C重合矛盾，

∴当n=7时，不存在这样的m值使P为AB的边的中点．