Question

如图， 直线与轴、轴分别交于点M（8，0）点N（0，6），点以每秒3个单位长度的速度沿NO由N向O运动，点以每秒5个单位长度的速度沿MN由M向N运动．已知点同时出发，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒．

（1）当四边形PQMO为梯形时，求t的值；

（2）当△PQO为等腰三角形时，求t的值；

（3）在整个运动中，以PQ为直径的圆能否与x轴相切？若能，请求出运动时间t；若不能，请说明理由.

 

 

Answer 1

 (1)当PQ∥AB时，当四边形PQMO为梯形

此时有………(1分)

即，解得：t=1.

所以，当t=1秒时，四边形PQMO为梯形………(3分)

（2）P点的坐标为（0，6－3t）,

Q点的坐标为（8－4t， 3t）…………(4分)

为等腰三角形

当PO=OQ时，作OH⊥x轴于点H

在Rt△OQH中,有

此时方程无实数根，故此种情况不存在. ……(5分)

当PQ=OQ时，此时Q在OP的垂直平分线上

所以P点的纵坐标是Q点纵坐标的2倍

即有，

当秒时，为等腰三角形. ……(7分)

当PO=PQ时，作OG⊥y轴于点G

在Rt△PGQ中,有

此时方程无实数根，故此种情况不存在. ……(8分)

(3) 若以PQ为直径的⊙A与x轴相切点T,连接AT，作QB⊥x轴于点B,则AT=R=(OP+QB)=PQ ……(9分)

即OP+QB=PQ

所以…(11分)

解得：

所以当时，以PQ为直径的圆与x轴相切…………………………………(12分)