Question

如图，AD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥AB，DF∥AC，分别交AC、AB于点E和F．

（1）在图中画出线段DE和DF；

（2）连接EF，则线段AD和EF互相垂直平分，这是为什么？

Answer 1

考点：

菱形的判定与性质；作图—复杂作图。

分析：

（1）根据题目要求画出线段DE、DF即可；

（2）首先证明四边形AEDF是平行四边形，再证明∠EAD=∠EDA，根据等角对等边可得EA=ED，由有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明四边形AEDF是菱形，再根据菱形的性质可得线段AD和EF互相垂直平分．

解答：

解（1）如图所示；

（2）∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵AD是△ABC的角平分线，

∴∠FAD=∠EAD，

∵AB∥DE，

∴∠FAD=∠EDA，

∴∠EAD=∠EDA，

∴EA=ED，

∴平行四边形AEDF是菱形，

∴AD与EF互相垂直平分．

点评：

此题主要考查了画平行线，菱形的判定与性质，关键是掌握菱形的判定方法，判定四边形为菱形可以结合菱形的性质证出线段相等，角相等，线段互相垂直且平分．