Question

如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，依此类推…．已知∠A=α，则∠A_n的度数为

α

2n

（用含n、α的代数式表示）．

Answer 1

分析：由三角形的外角性质知：∠A=∠ACD-∠ABC，而∠A₁=

1

2

（∠ACD-∠ABC），即∠A₁=

1

2

∠A，同理可得，∠A₂=

1

2

∠A₁，依此类推即可．

解答：解：△ABC中，∵∠A=∠ACD-∠ABC，A₁是∠ABC角平分与∠ACD的平分线的交点，∠A=α，
∴∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC=

1

2

（∠ACD-∠ABC）=

1

2

∠A；
同理可得，∠A₂=

1

2

∠A₁=

1

22

∠A，
∠A₃=

1

2

∠A₂=

1

23

∠A，
…
依此类推，∠A_n=

1

2n

∠A，即∠A_n=

α

2n

．
故答案为：

α

2n

．

点评：本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和是180°是解答此题的关键．