Question

18．已知点P是正方形ABCD所在平面内一点，且△PCD为正三角形，则△APB的度数是（　　）

• A． 30°
• B． 150°
• C． 15°或150°
• D． 30°或150°

Answer 1

分析 分两种情况：
①当点P在正方形ABCD的内部时，如图1，先根据△PCD为正三角形，得∠DPC=60°，再由等腰三角形的性质求∠APD=∠BPC=75°，最后利用周角360°求差得出∠APB的度数；
②当点P在正方形ABCD的外部时，如图2，同理可得∠APB=30°．

解答 解：分两种情况：
①当点P在正方形ABCD的内部时，如图1，
∵△PCD为正三角形，
∴∠DPC=∠PDC=∠PCD=60°，PD=DC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠BCD=90°，AD=DC，
∴∠ADP=90°-60°=30°，AD=PD，
∴∠DAP=∠APD=$\frac{180-30}{2}$=75°，
同理得：∠BPC=75°，
∴∠APB=360°-∠APD-∠BPC-∠DPC=360°-75°-75°-60°=150°；
②当点P在正方形ABCD的外部时，如图2，
同理得：∠DPC=60°，
∵∠ADP=90°+60°=150°，
∵AD=PD，
∴∠DAP=∠DPA=15°，
同理∠BPC=15°，
∴∠APB=∠DPC-∠DPA-∠BPC=60°-15°-15°=30°，
综上所述，∠APB的度数是30°或150°；
故选D．

点评 本题考查了正方形的性质、等腰三角形、等边三角形的性质，熟知等边三角形各边都相等，且每一个角都是60°，明确等边对等角，利用三角形的内角和依次求出各角的度数；注意点P的不确定性，分两种情况画图，得出结论．