如图.已知:AB=AC.直线m经过点A.点D.E是直线m上两个动点.连接BD.CE．(1)如图1.若∠BAC=90°.BD⊥DE.CE⊥DE．求证:DE=BD+CE．(2)如图2.若∠BAC=∠BDA=∠AEC.则(1)中的结论DE=BD+CE还成立吗?的条件下.点F为∠BAC平分线上的一点.且△ABF和△ACF均为等边三角形.是判定△DEF的形状.并证明你的判� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，已知：AB=AC，直线m经过点A，点D、E是直线m上两个动点，连接BD、CE．

（1）如图1，若∠BAC=90°，BD⊥DE，CE⊥DE．求证：DE=BD+CE．
（2）如图2，若∠BAC=∠BDA=∠AEC，则（1）中的结论DE=BD+CE还成立吗？（只回答答案，不用证明）
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，是判定△DEF的形状，并证明你的判定．

分析：（1）根据条件可以得出∠DAB=∠ACE，就可以得出△ADB≌△CEA就可以得出BD=AE，AD=CE即可得出结论；
（2）根据三角形的内角和定理就可以得出∠DAB=∠ACE，就可以得出△ADB≌△CEA，就可以得出结论；
（3）由你改变三角形的性质就可以得出∠BAC=120°，就可以得出△FDB≌△FEA，就可以得出DF=EF，∠DFB=∠EFA而得出结论．

解答：解：（1）∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵BD⊥AD，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠DBA=∠CAE；　　　　　　　
∵CE⊥DE，
∴∠CEA=90°，
∴∠ADB=∠CEA．
在△ADB和△CEA中，

∠DBA=∠CAE

∠ADB=∠CEA

AB=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS）
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=DA+AE，
∴DE=BD+CE；

（2）（1）中的结论DE=BD+CE仍然成立．　
理由：∵∠DAB+BAC+∠CAE=180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC=180°，
∴∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠CAE+∠ACE+∠AEC．
∵∠BAC=∠AEC，
∴∠DAB=∠ACE．
在△ADB和△CEA中

∠DAB=∠ECA

∠ADB=∠CEA

AB=AC

，
∴△ADB≌△CEA（AAS）
∴AD=CE，BD=AE．
∵DE=DA+AE，
∴DE=BD+CE；

（3）△DFE是等边三角形．　　　
理由：∵△ADB≌△CEA，
∴∠DBA=∠EAC，BD=EA．
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴BF=AB=AF=AC=CF，∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠ABF+∠DBA=∠CAF+∠EAC，
∴∠DBF=∠EAF．
在△FDB和△FEA中，

BF=AF

∠DBF=∠EAF

BD=AE

，
∴△FDB≌△FEA（SAS），
∴DF=EF，∠DFB=∠EFA．
∵∠DFB+∠DFA=60°，
∴∠EFA+∠DFA=60°，
即∠DFE=60°
∴△DFE是等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质的运用，等边三角形的判定与性质的运用，等式的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．