Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB分别与x、y轴交于点A、B，与反比例函数在第一象限内的图象交于点C，CD⊥x轴于点D，OD=3，点A为OD的中点，tan∠OBD=

3

2

．
（1）求直线AB和该反比例函数的解析式；
（2）求四边形OBDC的面积．

Answer 1

分析：（1）先由OD=3，A为OD的中点求出A点坐标，再根据tan∠OBD=

3

2

得出B点坐标．利用待定系数法可求出直线AB的解析式；再由全等三角形的判定定理得出△OAB≌△DAC，故可得出OB=CD，由此可得出C点坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的解析式；
（2）根据S_{四边形OBDC}=S_△OBD+S_△ODC进行计算即可．

解答：解：（1）∵OD=3，A为OD的中点，
∴A（

3

2

，0），
∵tan∠OBD=

3

2

，
∴

OD

OB

=

3

2

，即

3

OB

=

3

2

，解得OB=2，
∵点B在y轴的负半轴上，
∴B（0，-2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（

3

2

，0），B（0，-2），
∴

b=-2 3 2 k+b=0

，解得

b=-2 k= 4 3

，
故直线AB的解析式为：y=

4

3

x-2；
∵A为OD的中点，
∴OA=AD，
∵CD⊥x轴，
∴∠BOA=∠CDA=90°，
在△OAB与△DAC中，
∵

∠BOA=∠CDA OA=AD ∠OAB=∠CAD

，
∴△OAB≌△DAC，
∴CD=OB=2，
∴C（3，2），
设该反比例函数的解析式为y=

k

x

，则2=

k

3

，解得k=6，
∴该反比例函数的解析式为：y=

6

x

；

（2）∵OD=3，CD=OB=2，
∴S_{四边形OBDC}=S_△OBD+S_△ODC
=

1

2

OD•OB+

1

2

OD•CD
=

1

2

×3×2+

1

2

×3×2
=6．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式、全等三角形的判定与性质等相关知识，难度适中．