Question

已知抛物线经过A(3，0), B(4，1)两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数关系式及点C的坐标；

（2）如图（1）,连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图（2）,连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

 

Answer 1

解：（1）（3分）将A(3,0),B(4,1)代人

            得

            ∴

            ∴

            ∴C(0,3)

        (2)(7分)假设存在，分两种情况，如图.

           ①连接AC,

             ∵OA=OC=3, ∴∠OAC=∠OCA=45^O. ……1分

             过B作BD⊥轴于D，则有BD=1，

             ,

             ∴BD=AD, ∴∠DAB=∠DBA=45^O.

             ∴∠BAC=180^O-45^O-45^O=90^O……………2分

             ∴△ABC是直角三角形. ∴C(0,3)符合条件.

             ∴P₁(0,3)为所求.

           ②当∠ABP=90^O时,过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P.

             ∵A(3,0),C(0,3)

             ∴直线AC的函数关系式为

             将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.

             则直线BP的函数关系式为

             由,得

             又B(4,1), ∴P₂(-1,6).

             综上所述,存在两点P₁(0,3), P₂(-1,6).

        另解②当∠ABP=90^O时, 过B作BP∥AC,BP交抛物线于点P.

             ∵A(3,0),C(0,3)

             ∴直线AC的函数关系式为

将直线AC向上平移2个单位与直线BP重合.

则直线BP的函数关系式为

∵点P在直线上，又在上.

∴设点P为

∴

解得

∴P₁(-1,6), P₂(4,1)(舍)

综上所述,存在两点P₁(0,3), P₂(-1,6).

(3)(4分) ∵∠OAE=∠OAF=45^O,而∠OEF=∠OAF=45^O,

    ∠OFE=∠OAE=45^O,

    ∴∠OEF=∠OFE=45^O,

    ∴OE=OF, ∠EOF=90^O

    ∵点E在线段AC上,

    ∴设E

    ∴

           =

∴

        =

        =

        =

∴当时, 取最小值,

此时,

∴