Question

.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、 B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E. 点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行. 一次函数y=－x＋m的图象过点C，交y轴于D点.

（1）求点C、点F的坐标；

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.

 

Answer 1

解：（1）由题意得，A（－3，0），B（1，0）

           C（5，0） ……………………1分

           F（3，0） …………………………2分

  （2）由题意得，，解得m=5

       CD的解析式是

       设K点的坐标是（t，0），则H点的坐标是（t，-t+5）,G点的坐标是（t，）

       K是线段AB上一动点，

       HG=（-t+5）-（）==………..3分

       ，

       当t=时，线段HG的长度有最大值是 ………………….4分

   （3）AC=8 ………………………5

直线l过点F且与y轴平行，

        直线l的解析式是x=3.

        点M在l上，点N在抛物线上

       设点M的坐标是（3，m），点N的坐标是（n，）.

       （ⅰ）若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的边，则须MN∥AC，MN=AC=8

        （Ⅰ）当点N在点M的左侧时，MN=3-n

        3-n=8，解得n=-5

        N点的坐标是（-5，12）…………………6分

        （Ⅱ）当点N在点M的右侧时，NM=n-3

        n-3=8，解得n=11

        N点坐标是（11，140） …………………..7分

       （ⅱ）若线段AC是以A、C、M、N为顶点的平行四边形的对角线，由题意可知，点M与点N关于点B中心对称. 取点F关于点B的对称点P，则P点坐标是（-1，0）.过点P作NP⊥x轴，交抛物线与点N.

      过点N、B作直线NB交直线l于点M.

      ∠NBP=∠MBF,BF=BP,∠BPN=∠BFM=90°

      △BPN≌△BFM.  NB=MB

      四边形ANCM是平行四边形.

N点坐标是（-1，-4）………………………………….8分

     符合条件的N点坐标有（-5，12），（11，140），（-1，-4），