Question

如图，以M（

3

，3）为圆心的⊙M与y轴相切与点D，x轴上一点A（2

3

，0），点P从A点出发，沿x轴负方向运动，以P为圆心，PA为半径作⊙P．
（1）当⊙P经过点D时，求P点的坐标；
（2）连接AM交⊙M于Q，将⊙M沿某直线l折叠，使D刚好落在Q，当⊙P与直线l相切时，求⊙P的半径．

Answer 1

分析：（1）设P（x，0）当⊙P经过点D时则PA=PD=2

3

，在Rt△PDO中利用勾股定理即可得到OD²+OP²=PD²，进而求出x的值，从而求出P点的坐标；
（2）连接OM，可得OM=AM=0A=2

3

，所以∠AMD=120°，所以直线l经过点O，再过PH⊥OM于H，则∠OPH=30°，进而求出PH的长度，即为⊙P与直线l相切时的半径．

解答：解：（1）设P（x，0），
当⊙P经过点D时，（如图1所示），则PA=PD=2

3

，
∵∠DOP=90°，
∴OD²+OP²=PD²，
即3²+x²=（2

3

-x）²，
解得：x=

3

4

，
∴P点的坐标是（

3

4

，0）；
（2）连接OM，（如图2所示）
∵M（

3

，3），
∴DM=

3

，OD=3，
∴OM=

DM2+DO2

=2

3

，tan∠DOM=

3

3

，
∴∠DOM=30°，
∴∠MOA=60°，
∴△MOA是等边三角形，
∴∠DMO=60°，
∴直线l经过点O，
过PH⊥OM于H，则∠OPH=30°，设AP=a，PH=a，则OP=2

3

-a，
∴

PH

OP

=cos30°，
即

a

2 3 -a

=

3

2

，
解得：a=12-6

3

，
当⊙P与直线l相切时，求⊙P的半径为12-6

3

．

点评：本题考查了勾股定理的运用、等边三角形的判定和性质、特殊角的锐角三角函数值以及切线的性质，题目的综合性很强，难度中等．