Question

如图，已知抛物线y=-x²+x+与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若坐标平面内的点M，使得以点M和三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．（直接写出点的坐标，不必写求解过程）

Answer 1

【答案】分析：（1）分别令x=0，y=0从而求得点A，B，C的坐标；
（2）利用（1）的结论即可求得AB，AC，BC的长，再根据勾股定理的逆定理即可证明△ABC为直角三角形；
（3）CD∥AB可得两个点，AC∥BD也可得到一个．
解答：（1）解：令x=0，得y=，得点C（0，）；
令y=0，得-x²+x+=0，
解得x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0）；

（2）证明：因为AC²=1²+（）²=4，BC²=3²+（）²=12，AB²=16，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC是直角三角形；

（3）解：①如图：当CM∥AB时，
∵CM=AB=4，
∴M₁（4，）；
②当AM∥BC时，
∵CM=AB=4，
∴M₂（-4，）；
当AM∥BC时，
∵直线AC为：y=x+，直线BC为：y=-x+，
∴直线BM为：y=x-3，直线AM为：y=-x-，
∴M₃（2，-）．
∴M₁（4，），M₂（-4，），M₃（2，-）．（只写出一个给（1分），写出2个，得1.5分）
点评：此题综合考查了二次函数与一元二次方程的关系，直角三角形的判定，平行四边形的判定等知识点．