题目内容
如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD ⊥ x轴于点D,交线段OB于点E，已知CD=8,抛物线经过O、E、A三点。
（1） ∠OBA= °．
（2） 求抛物线的函数表达式。
（3） 若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有3个？
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(1)∠OBA=90°
(2)连接OC，如图所示，
∵由(1)知OB ⊥ AC，又AB=BC，
∴OB是的垂直平分线，
∴OC=OA=10，
在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6，
∴C(6，8)，B(8，4)
∴OB所在直线的函数关系为y=
x，
又E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3
即E(6,3)．
抛物线过O(0，0)，E(6,3) ，A(10，0)
∴设此抛物线的函数关系式为y=ax(x－10)，把E点坐标代入得
3=6a(6－10)，解得a=－
∴此抛物线的函数关系式为y=－x(x－10)，即y=－x²＋
x．
(4) 设点P(p，－p²＋p)
① 若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如右图，
OP所在直线函数关系式为：y=(－p＋)x
∴当x=6时，y=
，即Q点纵坐标为，
∴QE=－3=
，
S四边形POAE
= S△OAE ＋S△OPE
= S△OAE ＋S△OQE－S△PQE
= · OA ·DE ＋ · QE · Px
=×10×3＋ ·()· p
=
② 若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如右图，
P
(p，－p²＋p)，A(1
0,0)
∴设AP所在直线方程为：y=kx＋b，把P和A坐标代入得，
，解得
，
∴AP所在直线方程为：y=
x＋
，
∴当x=6时，y=· 6＋=P，即Q点纵坐标为P，
∴QE=P－3，
∴S四边形POAE
= S△OAE ＋S△APE
= S△OAE ＋S△AQE －S△PQE
= ·OA ·DE ＋ · QE·DA－ · QE·(Px －6)
=×10×3＋ · QE ·(DA－Px ＋6)
=15＋ ·(p－3)·(10－p)
=
=
∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，
令=16，解得，p=3 ± 
，
∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个，
综上知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．
亮点激活精编提优100分大试卷系列答案
若AD=10，DC=3，∠ABD=60°，则AB= 时，四边形BFCE是菱形．
千米，出租车费为15.5元，那么
据的中位数为 