题目内容

已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥AD交BD于点E，交BC于点F．
（1）求证：AD²= $数学公式$ DE•DB；
（2）过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE、DE（BE＜DE）的长是方程x²-3mx+2m²=0（m＞0）的两个根，且菱形ABCD的面积为 $数学公式$ ，求EG的长．

解法一：（1）证明：连接AC交BD于点O
∵四边形ABCD为菱形
∴AC⊥BD，BO=OD
∵AE⊥AD
∴△AOD∽△EAD
∴ $\text{[math]}$
∴AD²=OD×ED
∴AD²= $\text{[math]}$ DE×BD

（2）解：解方程x²-3mx+2m²=0得x₁=m，x₂=2m
∵BE＜DE
∴BE=m，DE=2m
∵AD²= $\text{[math]}$ DE×BD
∴AD= $\text{[math]}$ m
在Rt△BEF中，DE=2m，AD= $\text{[math]}$ m
∴AE=m，∠ADB=30°
在Rt△ADE中，∠EBF=30°，BE=m
∴EF= $\text{[math]}$ m，∴AF= $\text{[math]}$ m
∵S_ABCD=AD×AF= $\text{[math]}$ m× $\text{[math]}$ m=6 $\text{[math]}$
∴m²=4
∴m=±2（负值舍去）
∴m=2
∵EG⊥AF，AD⊥AF
∴GE∥AD
∴ $\text{[math]}$
∴GE= $\text{[math]}$

解法二：（1）证：取DE的中点G
在Rt△EAD中，AG=DG=EG
∴∠GAD=∠GDA
∵四边形ABCD为菱形
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴∠GAD=∠ABD，∠ADB=∠ADB
∴△ADG∽△BDA
∴ $\text{[math]}$
∴AD2=DG×BD= $\text{[math]}$ DE×BD

（2）解：∵x²-3mx+2m²=0
∴x₁=m，x₂=2m
∵BE＜DE
∴BE=m，DE=2m
∵AD2= $\text{[math]}$ DE×BD
∴AD= $\text{[math]}$ m
Rt△AOD中，AD= $\text{[math]}$ m，OD= $\text{[math]}$ m，
∴AO= $\text{[math]}$ m，
∴AC= $\text{[math]}$ m
∵S_ABCD= $\text{[math]}$ AC×BD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ m×3m=6 $\text{[math]}$
∴m²=4，∴m=±2（负值舍去）
∴m=2
∵EG⊥AE，AD⊥AF
∴GE∥AD
∴ $\text{[math]}$
∴GE= $\text{[math]}$
分析：（1）连接AC交BD于O，根据菱形的性质可得到△AOD∽△EAD，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结果；
（2）先解二次方程，求出BE，DE的值，直接利用（1）的结果，可求出AD的值，再利用勾股定理及三角函数求得AE，EF，BF的值，根据比例线段求得EG的长，再根据菱形的面积可求出m的值，那么EG就求出来了．
点评：本题考查菱形的性质、勾股定理，解一元二次方程的理解及运用．