Question

已知抛物线与x轴交于A、B，与y轴交于点C，连结AC、BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF．若S_△OBC=8，AC=BC
（1）求抛物线的解析式；
（2）求证：BF⊥AB；
（3）求∠FBE；
（4）当D点沿x轴正方向移动到点B时，点E也随着运动，则点E所走过的路线长是______．

Answer 1

解：（1）如图，∵AC=BC，
∴该抛物线的对称轴是y轴，则b=0．
∴C（0，c），B（，0）．
∵S_△OBC=8，
∴OC•OB=×c×=8，解得c=4（c＞0）．
故该抛物线的解析式为y=-x²+4；

（2）证明：由（1）得到抛物线的解析式为y=-x²+4；
令y=0，得x₁=4，x₂=-4，
∴A（-4，0），B（4，0），
∴OA=OB=OC，
∴△ABC是等腰直角三角形；
如图，又∵四边形CDEF是正方形，
∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF，
在△ACD和△BCF中，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF=∠CAD=45°，
∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，
∴BF⊥AB；

（3）如图，连接BE，过点E作EM⊥x轴于点M．
易证△ODC≌△DME，则DM=OC=4，OD=EM．
∵OD=OB-BD=4-BD=DM-BD=BM，
∴BM=EM．
∵∠EMB=90°，
∴∠MBE=∠MEB=45°；
由（2）知，BF⊥AB，
∴∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；

（4）由（3）知，点E在定直线上，当点D沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路程长等于BC=4．故答案是：4．
分析：（1）根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为y轴，则b=0；然后利用方程与二次函数的关系求得点B、C的坐标，由S_△OBC=8可以求得c的值；
（2）由抛物线y=-x²+4交x轴于点A、B，当x=0，求出图象与y轴的交点坐标，以及y=0，求出图象与x轴的交点坐标，即可得出三角形的形状；首先证明△ACD≌△BCF，利用三角形的全等，得出∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°，即可得出答案；
（3）如图，连接BE，过点E作EM⊥x轴于点M．易证△ODC≌△DME，则DM=OC=4，OD=EM．易求BM=EM．则∠MBE=∠MEB=45°；由（2）知，BF⊥AB，故
∠FBE=∠FBM-∠MBE=45°；
（4）由（3）知，点E在定直线上，当点D沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路程长等于BC的长度．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、正方形和等腰直角三角形的性质，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．（4）中弄清点E所走过的路程是解题的关键．