Question

如图，直线y=﹣3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△DOC，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点。
（1）填空：A（ _________ ， _________ ）、B（ _________ ， _________ ）、C（ _________ ， _________ ）；（2）求抛物线的函数关系式；
（3）E为抛物线的顶点，在线段DE上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）直线y=﹣3x﹣3中， x=0，则y=﹣3； y=0，则x=﹣1； ∴A（﹣1，0），B（0，﹣3）； 根据旋转的性质知：OC=OB=3，即C（3，0）； ∴A（﹣1，0），B（0，﹣3），C（3，0）； （2）∵抛物线y=ax2+bx+c经过B点， ∴c=﹣3； 又∵抛物线经过A，C两点， ∴， 解得； ∴y=x2﹣2x﹣3； （3）过点E作EF⊥y轴垂足为点F； 由（2）得y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4 ∴E（1，﹣4）， ∵tan∠EDF=，tan∠DCO=； ∴∠EDF=∠DCO ∵∠DCO+∠ODC=90°， ∴∠EDF+∠ODC=90°； ∴∠EDC=90°， ∴∠EDC=∠DOC； ①当=时，△ODC∽△DPC，则=， ∴DP= 过点P作PG⊥y轴，垂足为点G； ∵tan∠EDF==， ∴设PG=x，则DG=3x 在Rt△DGP中，DG2+PG2=DP2， ∴9x2+x2=， ∴x1=，x2=﹣（不合题意，舍去） 又∵OG=DO+DG=1+1=2， ∴P（，﹣2）； ②当=时，△ODC∽△DCP，则=， ∴DP=3； ∵DE==， ∴DP=3（不合题意，舍去） 综上所述，存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似， 此时点P的坐标为P（，﹣2）。