Question

【题目】（1）问题探究

①如图1,在直角中,,点是边上一点,连接,则的最小值为_________.

②如图2,在等腰直角中, ,若,求边的长度（用含的代数式表示）；

（2）问题解决

③如图3,在等腰直角中,,点是边的中点,若点是边上一点,试求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）

【解析】

（1）①如图1中，作BE⊥AC于E．解直角三角形求出BE，根据垂线段最短即可解决问题．
②利用勾股定理即可解决问题．
（2）如图3中，作AH⊥AC，PE⊥AH于E，DF⊥AH于F交AB于T．因为DP+PA=DP+PE，根据垂线线段最短可知，当点E与F重合时，PD+PA的值最小，最小值为DF的长．

（1）①如图1中，作BE⊥AC于E．

在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，
∴AB==4，
∵S△ABC=ACBE=ABBC，
∴BE==，
根据垂线段最短可知当BP与BE重合时，PB的值最小，最小值为，
故答案为．
②如图2中，

∵∠B=90°，AB=BC，
∴AB2+BC2=AC2，
∴AB2=a2，
∴AB=a或-a（舍弃），
∴AB=a．
（2）如图3中，作AH⊥AC，PE⊥AH于E，DF⊥AH于F交AB于T．

∵△ABC是等腰直角三角形，AC=2，
∴AB=BC=2，∠BAC=∠C=45°，
∵BD=CD=1，
∵DF⊥AH，AC⊥AH，
∴DF∥AC，
∴∠BTD=∠BAC=45°，∠BDT=∠C=45°，
∴∠BTD=∠BDT，
∴BT=BD=AT=1，DT=，
∵AH⊥AC，∠BAC=45°，
∴∠HAC=90°，∠HAT=45°，
∴AF=TF=，
∴PE=PA，
∴DP+PA=DP+PE，
根据垂线线段最短可知，当点E与F重合时，PD+PA的值最小，最小值为DF的长=+=．