Question

如图，点D是△ABC的边BC上一点，如果AB=AD=2，AC=4，且BD：DC=2：3，则△ABC是

1. A.
   锐角三角形
2. B.
   直角三角形
3. C.
   钝角三角形
4. D.
   锐角三角形或直角三角形

Answer 1

B
分析：过A作AE垂直BC于E，令BD=2x CD=3x 则BC=5x，由锐角三角函数的定义可求出cosB=，根据余弦定理可求出x的值，再由cosA=0即可求出∠A的度数．
解答：解：方法1：过A作AE垂直BC于E，
令BD=2x CD=3x 则BC=5x，
∵AB=AD=2，
∴BE=x，cosB=，
∴AC²=AB²+BC²-2AB•BCcosB 即16=4+25x²-10x²，
解得，x=，
∴△ABC用余弦定理BC²=AB²+AC²-2AB•ACcosA 即20=4+16-16cosA，
∴cosA=0，∠A=90°．

方法2：过点D作AB平行线交AC于E，
因此很容易得到DE：AB=CE：CA=CD：CB=3：5，
那么DE=1.2；
AD=2，AE=1.6，由勾股定理得△AED构成一个直角三角形，即△ABC是直角三角形
故选B．
点评：本题考查的是余弦定理及锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．