Question

已知a，b为正整数，且满足

a+b

a2+ab+b2

=

4

49

，则a+b=

 

．

Answer 1

分析：首先根据关系式

a+b

a2+ab+b2

=

4

49

，故令设a+b=4k，a²+ab+b²=49k（k是正整数）．根据这两式与一元二次方程根与系数的关系，可求得k的取值范围．再就k的取值范围讨论a有意义得取值．进而求得a+b的值．

解答：解：

a+b

a2+ab+b2

=

4

49

，
设a+b=4k，a²+ab+b²=49k （k是正整数），
则b=4k-a，
那么：a²+ab+b²=a²+a（4k-a）+（4k-a）²=a²-4ka+16k²=49k，
即：a²-4ka+16k²-49k=0，
a是正整数，则方程有正整数解，
△=（4k）²-4（16k²-49k）=196k-48k²≥0，
4k（49-12k）≥0，
k≤

49

12

，而k是正整数
∴1≤k≤4
又∵a=

4k± △

2

，且a为正整数
∴

△

为整数
当k=1时，

△

=2

37

；
当k=2时，

△

=10

2

；
当k=3时，

△

=2

39

；
当k=4时，

△

=4；
∴k=4，
此时a=

4×4±4

2

，
即a=10 或 a=6，
若a=10，则b=4×4-10=6，
若a=6，则b=4×4-6=10，
∴a+b=16．
故答案为：16．

点评：本题考查一元二次方程根与系数的关系．解决本题的关键是设a+b=4k，a²+ab+b²=49k （k是正整数），转化为一元二次方程根与系数的关系来解决．