Question

如图，在等腰Rt△ABC中，P是斜边BC的中点，以P为顶点的直角的两边分别与边AB，AC交于点E，F，连接EF。当∠EPF绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，△PEF也始终是等腰直角三角形，请你说明理由。

Answer 1

解：连接PA，PA是等腰△ABC底边上的中线。

∴PA⊥PC(等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合)。

又AB⊥AC， ∴∠l=90°－∠PAC，∠C=90°－∠PAC，

∴∠l=∠C(等量代换)．

同样，由PA⊥PC，PE⊥PF可得∠2=∠3。

由PA是Rt△ABC斜边上的中线，得

(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)。  

在△PAE和△PCF中，∠1=∠C，PA=PC，∠2=∠3，

∴△PAE≌△PCF(ASA)．

∴PE=PF(全等三角形对应边相等)。 

因此，△PEF始终是等腰直角三角形。