Question

如图，直线y=﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．

（1）写出A，B两点的坐标；

（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？

（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

Answer 1

解：（1）令y=0，则﹣x+8=0，

解得x=6，

x=0时，y=y=8，

∴OA=6，OB=8，

∴点A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10，

∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，

∴AP=2t，

AQ=AB﹣BQ=10﹣t，

∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB=（10﹣t）×=（10﹣t），

∴△AQP的面积S=×2t×（10﹣t）=﹣（t²﹣10t）=﹣（t﹣5）²+20，

∵﹣＜0，0＜t≤3，

∴当t=3时，△AQP的面积最大，S_最大=﹣（3﹣5）²+20=；

（3）若∠APQ=90°，则cos∠OAB=，

∴=，

解得t=，

若∠AQP=90°，则cos∠OAB=，

∴=，

解得t=，

∵0＜t≤3，

∴t的值为，

此时，OP=6﹣2×=，

PQ=AP•tan∠OAB=（2×）×=，

∴点Q的坐标为（，），

综上所述，t=秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为（，）．