Question

已知二次函数y=x²-mx-

3

4

m²，其中m≠0．
（1）试说明该函数图象与x轴总有两个交点；
（2）设该函数图象与x轴两交点为A，B．且它的顶点在以AB为直径的圆上，求m的值；
（3）设该函数图象与y轴两交点为A，B．若以AB为直径的圆与y轴交于点C，D，求弦CD的长（用m表示）．

Answer 1

分析：（1）依题意可得△=4m²得出△＞0，可得出二次函数图象与x轴总有公共点；
（2）利用根与系数的关系得出AB的长以及二次函数的顶点坐标，进而得出m的值；
（3）利用垂径定理以及勾股定理求出CD的长即可．

解答：解：（1）△=（-m）²-4×1×（-

3

4

m²）=4m²，
∵m≠0，∴4m²＞0，
∴△＞0．
∴对于任意实数m，该函数图象与x轴总有两个交点；

（2）y=x²-mx-

3

4

m²，
设AB点的坐标分别为A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=-

b

a

=m，x₁•x₂=

c

a

=-

3

4

m²，
∴AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+3m2

=2m，
-

b

2a

=

m

2

，

4ac-b2

4a

=-m²，
∴顶点坐标是（

m

2

，-m²），
∵抛物线的顶点在以AB为直径的圆上，
∴AB=2m，
即2m=2m²，
解得m=1或0（不合题意舍去），
∴m=1；

（3）由（2）得：圆的半径为m，
弦CD的弦心距为

m

2

，
∴

1

2

CD=

m2-( m 2 )2

=

3

2

m，
∴CD=

3

m．

点评：此题考查二次函数的综合运用，同时考查学生的综合应用能力，解题的关键是仔细审题，理解题意；特别是要注意数形结合思想的应用．