Question

如图1，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm，点E从点A出发沿AD方向以1cm/s的速度向终点D运动；点F从点C出发沿CA方向以2cm/s的速度向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为ts．

（1）当t为何值时，△AEF和△ACD相似？
（2）如图2，连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△AFE的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

解：（1）当运动t秒时，△AEF∽△ADC时，
∴，AE=t，CF=2t，
∴AF=AC-2t
∵∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理，得
AC=10cm，
∴AF=10-2t
∴，解得
t=
当运动t秒时，△AEF∽△ACD时，

∴解得：
t=

（2）设t秒后四边形AEFB是直角梯形，延长EF交BC于点G，

∴EG⊥AD，EG⊥BC
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴EG∥AB，且AD∥BC
∴△CGF∽△CBA，四边形AEGB为矩形
∴，EG=AB=6
∴，
∴
∴EF=6-，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
t²+（6-t）²=（10-2t）²，解得
t₁=，t₂=（不符合题意应舍去）
∴EF=，AE=
∴S_{四边形ABFE}=
=cm²

（3）过点F作MN⊥AD于M，交BC于点N
∴∠DEG=90°．
∵AD∥BC，
∴∠BGE=∠DEG=90°．
∵∠B=90°，
∴EG∥AB，
∴△CFN∽△CAB，
∴
∴，
∴MF=6-，
∴S_△AFE=
=-（t-）²+．
∴当t=时，S_△AFE最大，最大值是．
分析：（1）E、F在移动的过程中，△AEF和△ACD相似有两种情况，△AEF∽△ACD和△AEF∽△ADC，根据相似三角形的性质就可以求出t的值．
（2）E、F移动t秒后ABFE是直角梯形，则FE⊥AD，延长EF交BC于点G，同样利用三角形相似把FG表示出来，从而求出EF，根据勾股定理建立等量关系求出t值，就可以求出梯形的面积．
（3）过点F作MN⊥AD于M，交BC于点N，可以证明△CFN∽△CAB，表示出FN，从而表示出FM，利用三角形的面积公式及uky表示出三角形的面积S与t的函数关系式，从而求其解．
点评：本题是一道有关直角梯形的结合解答题，考查了二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用．