Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，抛物线经过，两点，连接，．

（1）求抛物线表达式；

（2）点是第三象限内的一个动点，若与全等，请直接写出点坐标______；

（3）若点从点出发沿线段向点作匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段上另一个点从点出发沿线段向点作匀速运动，速度为每秒2个单位长度(当点到达点时，点也同时停止运动)．过点作轴的垂线，与直线交于点，延长到点，使得，以为边，在左侧作等边三角形(当点运动时，点、点也随之运动)．过点作轴的垂线，与直线交于点，延长到点，使得，以为边，在的右侧作等边三角形(当点运动时，点、点也随之运动)．当点运动秒时，有一条边所在直线恰好过的重心，直接写出此刻的值____________．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或

【解析】

（1）将A、B两点坐标代入解析式，可求得；

（2）存在2种情况，一种是△AOB≌△AOC，则点B与点C关于x轴对称，可求得C点坐标；另一种是△AOB≌△OAC，则OC∥AB，AC∥BO，联立直线AC和OC的解析式，可求得点C的坐标；

（3）有2大类情况，一种是点D在点H的左侧，还有一种是点D在点H的右侧，画图可得出只有点D在点H的左侧有可能．又分为3种情况，一种是DF过△HMN的重心，第二种是GF过△HMN的重心，第三种是GD过△HMN的重心．

（1）∵抛物线过点A(－5，0)，B(，)

∴，

解得：，

∴抛物线解析式为：；

（2）情况一：△AOB≌△AOC，图形如下

从图形易知，点C与点B关于x轴对称

∵B(，)，∴C(，)；

情况二：△AOB≌△OBC，图形如下

∴∠BAO=∠AOC，∠BOA=∠CAO

∴AB∥CO，BO∥AC

∵A(－5，0)，B(，)

∴直线AB的解析式为：y=

直线OB的解析式为：y=

∴OC的解析式为：y=

AC的解析式设为：y=，将点A代入得：y=

联立OC和AC的解析，解得：x=，y=

∴C(，)；

（3）当点D在点H的左侧时，即5＞3t，t＜时，图形如下

根据题意可知

D(－t，0)，H(2t－5，0)

∵OB的解析式为：y=

∴E(－t，)，F(－t，)，L(2t－5，)，M(2t－5，)

∴MH=，HD=5－3t，FD=

∵△GFD是等边三角形，∴易知FD∥MH，FG∥HN，GD∥MN

情况一：当DF过△MHN的重心时，图形如下，连接LN，交FD于点O

则点O为△MHN的重心

∴ON：OL=2：1，∴OL=

∵△HMN是等边三角形

∴NL=MH=5t

∵OL=HD=5－3t

∴5－3t=

解得：t=(成立)；

情况二：FG过△HMN的重心，如下图，GF交HM于点P，过点P作FD的垂线，交FD于点Q，过点M作HN的垂线，交GF于点O，交HN于点R

则点O为△HNM的中线，∴MO：OR=2:1

易知△MOP∽△MRH，∴MP：PH=2:1

∴PH=

由题意可知，PQ=HD=5－3t，∠FPQ=30°

∴在Rt△FPQ中，FQ=

∴QD=FD－FQ=

∴PH=QD=

∴

解得：t=(成立)；

情况三：DG过△MHN的重心，如下图，HN与GD交于点S，过点S作x轴的垂线，交x轴于点T

易知∠SDH=∠SHD=30°，∠HSD=120°，HD=5－3t

则在Rt△SHR中，HT=，ST=，SH=

同理：SH=

∴

t=－5(舍)

综上得：t=或t=．