Question

解方程组

|x-y|=x+y-2① |x+y|=x+2②

Answer 1

分析：先将方程①变形，得出x+y=|x-y|+2，根据绝对值的非负性及不等式的性质可知x+y＞0，从而去掉方程②中绝对值的符号，求出y的值，再把y的值代入方程①，得到一个只含有未知数x的绝对值方程，根据绝对值的定义，分类讨论即可求出x的值．

解答：解：由①得，x+y=|x-y|+2．
∵|x-y|≥0，∴x+y＞0，
∴|x+y|=x+y．③
把③代入②，有x+y=x+2，
∴y=2．
将y=2代入①，有|x-2|=x，
∴x-2=x④或x-2=-x⑤．
方程④无解，
解方程⑤，得x=1．
故原方程组的解为

x=1 y=2

．

点评：本题考查了绝对值方程的解法．此知识点在初中教材中不涉及，属于竞赛题型，有一定难度．一般地，解绝对值方程只要把绝对值符号去掉，而去掉绝对值符号之前要弄清绝对值中的式子的正负性，如果式子无法判定就用讨论方法进行分类讨论将所求的解与区间进行比较，符合区间的值就是所求的解．本题若按通常的解法，区分x+y≥0和x+y＜0两种情形，把方程②分成两个不同的方程x+y=x+2和-（x+y）=x+2，对方程①也做类似处理的话，将很麻烦．上面的解法充分利用了绝对值的定义和性质，从方程①中发现必有x+y＞0，因而可以立刻消去方程②中的绝对值符号，从而简化了解题过程．