Question

如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点A在x轴的正半轴上，BC与y轴交于点D，点C的坐标为（-3，4）。
【小题1】点A的坐标为 ▲  ；
【小题2】求过点A、O、C的抛物线解析式，并求它的顶点坐标；
【小题3】在直线AB上是否存在点P，使得以点A、O、P为顶点的三角形与△COD相似。若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

【小题1】∵OABC为菱形，
∴BC∥OA，OC=OA=BC，
∴OD⊥BC，
∵C（-3，4），
∴CD=3，OD=4，
∴OC==5，
∴A（5，0），
【小题2】设抛物线的解析式为，
它经过点A（5，0）和点C（-3，4），则    …………………… 4分
解得  ∴   ……………………………………… 6分
∵，∴线的顶点坐标为。…………………………  8分
【小题3】因为∠OCD=∠OAB，∠ODC=90°，OC=5，OD=4，CD=3，所以…………  9分
①当∠AOP=∠ODC=90°（点P在y轴上）时,△APO∽△COD。可得
，即，PO=，此时P（0，）…………………… 11分
②当∠OPA=∠ODC=90°时，△AOP≌△COD，OP=OD=4。
过点P作PM⊥x轴，垂足为M，由可得PM=，OM=。
此时P（）………………………………………………………………  13分
综上所述，存在点符合要求的点P，它的坐标为（0，）或（）…14分解析:
（1）由菱形的性质得OC=OA=BC，则OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出点A的坐标，
（2）设抛物线的解析式为，把点A（5，0）和点C（-3，4）代入列方程组求解
（3）分两种情况进行讨论，①当∠AOP=∠ODC=90°（点P在y轴上）时,△APO∽△COD。②当∠OPA=∠ODC=90°时，△AOP≌△COD，OP=OD=4。